Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，-1）．点P是平面内任意一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点．
（1）请判断P₁（-4，0），P₂（3，0）是否为理想点；
（2）若直线x=-3上存在理想点，求理想点的纵坐标；
（3）若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1））①如图1中，O′是MN的中点，由△P₁AB∽△P₁MN得$\frac{AB}{MN}$=$\frac{{P}_{1}0}{{P}_{1}O′}$，求出MN，即可判断．
②如图2，画出图形即可判断点P₂不是理想点．
（2）存在，如图3中，作PK⊥MN由H，交AB于G，假设P是理想点，MN与x轴的交点为H，由AB∥MN，得△PAB∽△PMN，得$\frac{AB}{MN}$=$\frac{PG}{PK}$，求出MN，得到点M的坐标，再求出直线AM的解析式，即可求出点P坐标，再根据对称性求得另一个理想点．
（3）如图4中，假设点P在x轴的正半轴上，是理想点，求出点P坐标即可解决问题．

解答 解：（1）①如图1中，O′是MN的中点，

∵AB∥MN，
∴△P₁AB∽△P₁MN，
∴$\frac{AB}{MN}$=$\frac{{P}_{1}0}{{P}_{1}O′}$，
∴$\frac{2}{MN}$=$\frac{2}{4}$，
∴MN=2，
∴O′M=O′N=2，
∵CO′=2，
∴点C在⊙O′上，
∴点P₁是理想点．
②由图2可知，点P₂不是理想点．

（2）存在，
如图3中，作PK⊥MN由H，交AB于G，假设P是理想点，MN与x轴的交点为H．

∵AB∥MN，
∴△PAB∽△PMN，
∴$\frac{AB}{MN}$=$\frac{PG}{PK}$，
∴$\frac{2}{MN}$=$\frac{3}{7}$，
∴MN=$\frac{14}{3}$，
∴O′M=$\frac{7}{3}$，
在RT△CHO′中，O′H=$\sqrt{CO{′}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
∴MH=$\frac{7}{3}$-$\frac{\sqrt{13}}{3}$=$\frac{7-\sqrt{13}}{3}$，
∴点M坐标（4，$\frac{7-\sqrt{13}}{3}$），
∴直线AM的解析式为y=$\frac{4-\sqrt{13}}{12}$x+1，
∴x=-3时，y=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴点P坐标（-4，$\frac{\sqrt{13}}{4}$），
根据对称性点P′（-4，-$\frac{\sqrt{13}}{4}$）也是理想点．
线x=-3上存在理想点，理想点的纵坐标为±$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
（3）如图4中，假设点P在x轴的正半轴上，是理想点．

∵AB∥MN，AB=2，MN=4，
∴△PAB∽△PNM，
∴$\frac{AB}{MN}$=$\frac{PO}{PO′}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{PO}{4-PO}$，
∴PO=$\frac{4}{3}$，
∴点P坐标（$\frac{4}{3}$，0），
∵点P₁（-4，0）也是理想点，由图象可知，
若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，则m的取值范围是-4≤m＜0或0＜m≤$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查圆的综合题、点与圆的位置关系、一次函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图形，学会利用相似三角形性质解决问题，属于中考压轴题，属于创新性题目．