Question

16．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中面数（F）、顶点数（V）、棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，被称为“欧拉公式”，请你观察如图所示几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据如图所示多面体模型，完成表格中的空格：

多面体	各面形状	面数（F）	顶点数（V）	棱数（E）
四面体	三角形	4	4	6
长方体	长方形	6	8	x
正八面体	正三角形	8	y	12
正十二面体	正五面型	12	20	30

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2（用含V、F、E的式子表示）；
（2）已知某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求m+n的值；
（3）在（2）的情况下，又已知m+2q=18，求代数式（3n-6q）²-$\frac{2}{10q-5n}$的值．

Answer 1

分析 （1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）得到多面体的棱数，求得面数即为m+n的值；
（3）根据（2）中所求，结合已知得出n-2q=2，进而求出答案．

解答 解：（1）由表格中数据可得，关系式为：V+F-E=2；
故答案为：V+F-E=2；

（2）∵有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，两点确定一条直线；
∴共有18×4÷2=36（条棱），
那么18+F-36=2，
解得：F=20，
∴m+n=20；

（3）∵m+2q=18①，m+n=20②，
∴②-①得：n-2q=2，
∴（3n-6q）²-$\frac{2}{10q-5n}$
=[3（n-2q）]²-$\frac{2}{5（2q-n）}$
=36-$\frac{2}{5×（-2）}$
=36$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系以及代数式求值，正确得出n-2q=2是解题关键．