Question

4．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D在AC上，且AD=8，将线段AD绕点A旋转至AD′，F为BD′的中点，线段CF的最大值为多少？

Answer 1

分析 当AD=8时，取AB的中点M，连接MF和CM，可知CF的最大值为4+3$\sqrt{5}$．即可得到线段CF长度的最大值．

解答 解：如图，取AB的中点M，连接MF和CM，
∵将线段AD绕点A旋转至AD′，
∴AD′=AD=8，
∵∠ACB=90°，
∵AC=12，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=6$\sqrt{5}$．
∵M为AB中点
∴CM=3$\sqrt{5}$，
∵AD′=8．
∵M为AB中点，F为BD′中点，
∴FM=$\frac{1}{2}$AD′=4．
如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM=4+3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质．旋转的性质和三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大是解题的关键．