Question

19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+bx的图象经过点A（4，0）．点E是过点C（2，0）且与y轴平行的直线上的一个动点，过线段CE的中点G作DF⊥CE交二次函数的图象于D、F两点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点E落在二次函数的图象的顶点上时，求DF的长．
（3）当四边形CDEF是正方形时，请直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点的坐标代入抛物线的解析式，求出b的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由（1）可知抛物线的顶点坐标，因为G是EC中点，由此可求出G的纵坐标，代入抛物线的解析式可求出F和D的横坐标，进而可求出DF的长；
（3）四边形CDEF是正方形时可设E（2，2m），则F（2-m，m），把F点的坐标代入解析式即可求出m的值，进而可求出点E的坐标．

解答 解：（1）把（4，0）代入y=-x²+bx中，得b=4．
∴二次函数的表达式为y=-x²+4x．
（2）由（1）可知二次函数的图象的顶点坐标为（2，4），
∵G是EC的中点，
∴当y=2时，-x²+4x=2．
∴x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，
∴DF=2+$\sqrt{2}$-（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
（3）设E（2，2m），则F（2-m，m）．
∵点F在抛物线上，
∴m=-（2-m）²+4（2-m）．
∴m=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，2m=-1±$\sqrt{17}$．
∴E₁（2，-1+$\sqrt{17}$），E₂=（2，-1-$\sqrt{17}$）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程以及正方形的性质，题目的综合性较强，难度中等．