Question

10．如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，求证：AF垂直平分BC．

Answer 1

分析 通过△ABD≌△ACE，于是得到AE=AD，通过R_t△AEO≌R_t△ADO，证得∠BAF=∠CAF，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
在△ABD与△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AEC}\\{∠BAC=∠BAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴AE=AD，
在R_t△AEO与R_t△ADO中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴R_t△AEO≌R_t△ADO，
∴∠BAF=∠CAF，
∵AB=AC，
∴AF垂直平分BC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．