题目内容
3．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与直线y=k1x和直线y=k2x分别交于点A，B和点C，D，且k1k2≠0，k1≠k2．（1）若点A，B的坐标分别为（1，a2），（-1，4-4a），求a，k的值．
（2）如图1，已知k=8，过点A，C分别作AE，CF垂直于y轴和x轴，垂足分别为点E，F，若EA，FC的延长线交于点M（4，5），求△OAC的面积．
（3）如图2，若顺次连接A，C，B，D四点得矩形ACBD．
①求证：k1k2=1．
②当矩形ACBD的面积是16，且点A的纵坐标为4时，求k的值．
分析 （1）根据A、B关于原点对称，列出方程即可解决问题；
（2）根据S△OAC=S矩形OHMG-S△AOG-S△OCH-S△AMC计算即可解决问题；
（3））①如图2中，作AG⊥y轴于G，CH⊥x轴于H．易知A、C关于直线y=x对称，推出△AOG≌△COH，推出AG=CH．OG=OH，设A（m，n）zeBra（n，m），推出直线OA的解析式为y=$\frac{n}{m}$x，直线OC的解析式为y=$\frac{m}{n}$x，由此即可解决问题；
②如图2中，作AN⊥x轴于N，交CD于K．首先证明S△AOC=S梯形ANCH，由此列出方程即可解决问题；
解答 解：（1）∵点A，B的坐标分别为（1，a2），（-1，4-4a），
∴A、B关于原点对称，
∴a2-4a+4=0，
∴a=2，
∴A（1，4），
把A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$中，可得k=4，
（2）如图1中，设MA⊥y轴于G，MC⊥x轴于H，连接AC．
∵k=8，M（4，5），∴A（$\frac{8}{5}$，5），C（4，2），
∴AG=$\frac{8}{5}$，AM=$\frac{12}{5}$，CH=2，CM=3，
∴S△OAC=S矩形OHMG-S△AOG-S△OCH-S△AMC=20-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{8}{5}$-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$•$\frac{12}{5}$•3=$\frac{42}{5}$．
（3）①如图2中，作AG⊥y轴于G，CH⊥x轴于H．
∵四边形ADBC是矩形，
∴OA=OC，
∵A、C在y=$\frac{k}{x}$上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$是关于直线y=x对称的，
∴A、C关于直线y=x对称，易知△AOG≌△COH，
∴AG=CH．OG=OH，
设A（m，n）zeBra（n，m），
∴直线OA的解析式为y=$\frac{n}{m}$x，直线OC的解析式为y=$\frac{m}{n}$x，
∴k1=$\frac{n}{m}$，k2=$\frac{m}{n}$，
∴k1•k2=1．
②如图2中，作AN⊥x轴于N，交CD于K．
∵S△AON=S△COH，
∴S△AOK=S四边形CHNK，
∴S△AOC=S梯形ANCH，
∵A（m，4），C（4，m），
∴$\frac{1}{2}$•（4+m）•（4-m）=$\frac{1}{4}$×16，
解得m=2$\sqrt{2}$或-2$\sqrt{2}$（舍弃），
∴A（2$\sqrt{2}$，4），
∴k=8$\sqrt{2}$．
点评 本题考查反比例函数综合题、轴对称、中心对称的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求面积，学会用转化的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
名师点拨卷系列答案
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则∠CDE=60°．| A． | -$\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{3}{4}$ | C． | 4 | D． | $\frac{4}{3}$ |
如图，OC⊥OD，∠1=50°，则∠2的度数是40°．
如图有三条笔直的公路AB、AC、BC两两相交围成一个三角形的建筑工地．若现在要在建筑工地外建一个沙石周转站，使周转站到三条公路的距离相等，则周转站可供选择的位置有（ ）个．