Question

14．定义：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数，如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒数，a₁是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，以此类推，a₂₀₀₉的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． 4
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 计算出前面的几个数据即可发现规律，3个数一个轮回，于是a₂₀₀₉=a₂．

解答 解：∵a₁=-$\frac{1}{3}$，
∴a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
…
∴每3个数为一周期循环，
∵2009÷3=669…2，
∴a₂₀₀₉=a₂=$\frac{3}{4}$，
故选：B．

点评 此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．