Question

17．如图，△ABC外接圆⊙O半径为r，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D，BE、AD交于点K，AK=r，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 连接AO并延长交⊙O于点G，连接BG，由∠G+∠BAG=∠C+∠CAD=90°知∠BAG=∠CAD，进而可得RT△ABG∽RT△AEK，由相似形性质有$\frac{AB}{AE}=\frac{AG}{AK}$=2，即AB=2AE，从而可知∠BAC的度数．

解答 解：如图，连接AO并延长交⊙O于点G，连接BG，

∵AG是⊙O直径，
∴∠G+∠BAG=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
又∵∠G=∠C，
∴∠BAG=∠CAD，
∵BE⊥AC，
∴∠ABG=∠AEK=90°，
∴△ABG∽△AEK，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AG}{AK}$=$\frac{2r}{r}$=2，
则AB=2AE，
在RT△ABE中，∠ABE=30°，
∴∠BAC=60°．

点评 本题主要考查圆周角定理及相似三角形的判定与性质，将角的大小问题转化为边的长度比，通过证两三角形相似得出线段的比是解题的关键．