Question

3．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x²+ax=b²的方法，类似地可以用折纸的方法求方程x²+x-1=0的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB，类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′，表示方程x²+x-1=0的一个正根的线段是（　　）

• A． 线段BB″
• B． 线段AB″
• C． 线段BE
• D． 线段AE

Answer 1

分析 设AB″=AB′=x，则AE=x+$\frac{1}{2}$，在Rt△ABE中利用勾股定理得到（$\frac{1}{2}$）²+1²=（x+$\frac{1}{2}$）²，整理得到x²+x-1=0，则根据一元二次方程根的定义可判断线段AB′或AB″是方程x²+x-1=0的一个正根．

解答 解：设AB″=x，则AB′=x，
∵EB′=EB=$\frac{1}{2}$，
∴AE=x+$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABE中，∵BE²+AB²=AE²，
∴（$\frac{1}{2}$）²+1²=（x+$\frac{1}{2}$）²，
∴x²+x-1=0，
∴线段AB′或AB″是方程x²+x-1=0的一个正根．
故选B．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了一元二次方程根的定义和勾股定理．