Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，试判断AB+CD与AD+BC的大小，并证明你的结论．

Answer 1

考点：梯形,三角形三边关系,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：作梯形ABCD的中位线EF，连接OE、OF，根据梯形中位线定理得出EF=

1

2

（AD+BC），根据直角三角形斜边上中线定理得出OE=

1

2

AB，OF=

1

2

CD，在△OEF中根据三角形三边关系定理得出OE+OF＞EF，代入即可求出AB+CD＞AD+BC．

解答：解：作梯形ABCD的中位线EF，连接OE、OF，
即EF=

1

2

（AD+BC），
∵AC⊥BD，
∵∠AOB=∠DOC=90°，
∵E为AB中点，F为DC中点，
∴OE=

1

2

AB，OF=

1

2

CD，
∵在△OEF中，OE+OF＞EF，
∴

1

2

AB+

1

2

CD＞

1

2

（AD+BC），
∴AB+CD＞AD+BC，
∴AD+BC＜AB+CD．

点评：此题的难点在于将所求的线段转换到同一个三角形中，而正确地作出辅助线是顺利解题的前提；题目综合了梯形的中位线，三角形的三边关系定理，直角三角形斜边上中线定理等重要知识点，难度较大．