Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点B（3，0），点C（0，4），四边形ABCD是菱形，对角线BD于y轴交于点P．
（1）请直接写出A点与D点坐标；
（2）动点M从B点出发以每秒1个单位的速度沿折线段B-A-D运动，设△AMP的面积为S（S≠0），运动时间为t（秒），求面积S与时间t之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点M，使△DMP沿其一边翻折构成的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出BC，再利用菱形的性质即可得出AB=CD=5，即可得出点A，D坐标；
（2）先判断出△BOP≌△BKP，进而求出BK=3，CK=2，再利用勾股定理求出PK，PC，即可得出PO，同理求出PA=PC，最后分两种情况利用三角形的面积公式即可；
（3）分点M在AB上和AD上，利用勾股定理即可求出结论．

解答 解：（1）∵点B（3，0），点C（0，4），
∴BC=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=BC=5，CD∥AB，
∴A（-2，0），D（-5，4），

（2）如图1，过点P作PK⊥BC于K，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CBD=∠ABD，
∵PO⊥AB，
∴PK=PO，
∴△BOP≌△BKP，
∴BK=OB=3，
∴CK=2，
在Rt△PKC中，CK²+PK²=PC²，
∴4+PK²=（5-PK）²，
∴PK=$\frac{3}{2}$，PC=$\frac{5}{2}$，
∴PO=$\frac{3}{2}$，
同理：连接PA，易证△DCP≌△DAP，
∴∠DCP=∠DAP=90°，PA=PC=$\frac{5}{2}$，
①S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$（5-t）=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{4}$（0≤t＜5），
②S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$（t-5）=$\frac{3}{4}$t-$\frac{15}{4}$（5＜t≤1-）；

（3）①如图2，当点M在AB上，DP=DM时，沿PM翻折，可得四边形为菱形，
在Rt△OPB中，BP=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
过点D作DR⊥AB于R，DR=4，BR=8，
在Rt△DRB中，根据勾股定理得，DB=4$\sqrt{5}$，
∴DM=DP=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△DRM中，根据勾股定理得，RM=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，
∴OM=5-$\frac{\sqrt{61}}{2}$，
∴M（$\frac{\sqrt{61}}{2}$-5，0）；

②如图3，当点M在AD上，MD=MP时，沿DP翻折，可得四边形是菱形，
∴∠MDP=∠MPD，
∵∠MDP=∠CDP，
∴∠MPD=∠CDP，
∴PM∥CD，
过点M作MN⊥AB于N，
∴四边形MNOP是矩形，
∴MN=OP=$\frac{3}{2}$，MP=MD=ON=AN+2，
∴AM=5-DM=3-AN，
在Rt△AMN中，AN²+MN²=AM²，
∴AN=$\frac{9}{8}$，ON=$\frac{25}{8}$，
∴M（-$\frac{25}{8}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出BC，解（2）的关键是利用勾股定理求出PK，PC，解（3）的关键是画出图形，是一道难度比较大的中考常考题．