Question

2．如图，在直角三角形△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=6，D为BC上一点，射线DG⊥BC交AB于点G，CD=2，点P从点A出发以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿射线DG运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，得到矩形PECF，点M为点D关于点Q的对称点，以QM为直角边，在射线DG的右侧作直角△QMN，使QN=2QM．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）当QN=PF时，求t的值；
（2）连接PN、ND、PD，是否存在这样的t值，使△PND为直角三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由；
（3）当△QMN和矩形PECF有重叠部分时，直接写出重叠部分图形面积S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得QN=2QM=4t，再由AE的长度可得PF的长度，根据QN=PF，可得t的值．
（2）分别表示出PN、ND、PD，分三种情况讨论，再由勾股定理，可得t的值．
（3）首先应明确各节点重叠图形的变化，可画出示意图，根据重叠图形的形状表示重叠部分图形面积S与t的函数关系式，也可得出相应自变量t的取值范围．

解答 解：（1）∵QN=2QM=4t，AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\sqrt{5}$t=t，
∴PF=CE=3-t，
∴4t=3-t，
解得：t=$\frac{3}{5}$．

（2）DN²=DQ²+QN²=（2t）²+（4t）²=20t²，
PD²=DF²+PF²=（2-2t）²+（3-t）²=5t²-14t+13，
PN²=HN²+PH²=[4t-（2-2t）]²+（3-t-2t）²=45t²-42t+13，
①当∠PND=90°时，20t²+45t²-42t+13=5t²-14t+13，
解得：t₁=0（舍去），t₂=$\frac{7}{15}$；
②当∠PDN=90°时，20t²+（5t²-14t+13）=45t²-42t+13，
解得：t₁=0（舍去），t₂=$\frac{7}{5}$，
③当∠PDN=90°时，（5t²-14t+13）+（45t²-42t+13）=20t²，
解得：t₁=1，t₂=$\frac{13}{15}$，
综上可得：t=$\frac{7}{15}$或$\frac{7}{5}$或1或$\frac{13}{15}$．
（3）①当$\frac{1}{3}$＜t≤$\frac{1}{2}$时，如图所示：
HN=4t-（2-2t）=6t-2，KH=$\frac{1}{2}$HN=3t-1，
∴S=$\frac{1}{2}$（6t-2）（3t-1）=9t2-6t+1；
②$\frac{1}{2}$≤t＜$\frac{2}{3}$时，S=5t²-2t；
③当$\frac{2}{3}$≤t＜$\frac{4}{5}$时，S=-31t²+46t-16；
④当$\frac{4}{5}$≤t＜1时，S=-6t²+6t．

点评 本题考查了相似三角形的综合，第二问的关键是分类讨论利用勾股定理求解，第三问的难点在于判断重叠图形变化的节点，根据重叠图形的形状得出S与t的关系式，注意数形结合思想的运用，难度较大．