Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB∥x轴且交抛物线y=ax²+bx+c于点A、B，交y轴于点D，设CD=m．
（1）求a与m的关系式；
（2）若BC=2AC，求S_△ABC（用含有a的式子表示），并求出b的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）求出△ACD和△CBD相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出AD•DB，再表示出点A、D的纵坐标，然后代入抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系表示出AD•DB，整理即可得解；
（2）根据相似三角形对应边成比例表示出AD、DB，然后求出AB，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；利用根与系数的关系列式求解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵AB∥x，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠CAD，
∴△ACD∽△CBD，
∴

AD

CD

=

CD

DB

，
∴AD•DB=CD²=m²，
令x=0，则y=c，
∵CD=m，
∴点A、D的纵坐标为m+c，
∴ax²+bx+c=m+c，
∴ax²+bx-m=0，
∴AD•DB=-

-m

a

，
∴-

-m

a

=m²，
解得ma=1；

（2）由（1）知△ACD∽△CBD，
∴

AD

CD

=

CD

DB

=

AC

BC

，
∵BC=2AC，
∴

AD

m

=

m

DB

=

1

2

，
∴AD=

1

2

m，DB=2m，
∴AB=AD+DB=

1

2

m+2m=

5m

2

，
∴S_△ABC=

1

2

•

5m

2

•m=

5

4

m²；
由根与系数的关系得，-AD+DB=-

b

a

，
∴-

1

2

m+2m=-

b

a

，
∴b=-

3

2

ma=-

3

2

．

点评：本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，根与系数的关系，难点在于用相似三角形的性质和根与系数的关系两种方法表示出AD•DB．