Question

已知：如图，直线y=-

3

x+4

3

与x轴相交于点A，与直线y=

3

x相交于点B．
（1）求点B的坐标．并判断△OAB的形状．
（2）动点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→B→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点P分别作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F．设运动t秒时，矩形EPFO与△OAB重叠部分的面积为S．求S与t之间的函数关系式．
（3）当t为何值时，S最大，其最大值为多少？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）对于直线y=-

3

x+4

3

，令y=0求出x的值，确定出A坐标，得到OA的长，联立两直线解析式求出交点B坐标，过B作BM垂直于OA，确定出BM与OM的长，利用勾股定理求出OB的长，同理求出AB的长，即可确定出三角形OAB形状；
（2）分两种情况考虑：当P在线段OB上，如图1所示，矩形与三角形重叠部分为三角形OPE，求出三角形OPE面积即可得到结果；当P在线段AB上，如图2所示，重叠部分面积为矩形面积减去三角形OFN面积，列出S关于t的解析式即可；
（3）根据t的范围，利用二次函数性质即可确定出S最大值，以及此时t的值．

解答：解：（1）过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，
对于直线y=-

3

x+4

3

，令y=0，得到x=4，即A=（4，0），
联立得：

y=- 3 x+4 3 y= 3 x

，
消去y得：-

3

x+4

3

=

3

x，
解得：x=2，
将x=2代入得：y=2

3

，
∴OM=2，BM=2

3

，即B（2，2

3

）；
根据勾股定理得：OB=

OM2+BM2

=4，
∵AM=OA-OM=4-2=2，BM=2

3

，
∴根据勾股定理得：AB=

BM2+AM2

=4，
∴OB=AB=OA=4，
则△AOB为等边三角形；

（2）分两种情况考虑：
当P在线段OB上时，如图1所示，根据题意得：OP=t，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
在Rt△OPE中，∠OPE=30°，
∴OE=

1

2

OP=

1

2

t，PE=

OP2-OE2

=

3

2

t，
∴S=S_△OPE=

1

2

OE•PE=

3

8

t²（0≤t≤4）；
当P在线段AB上时，如图2所示，根据题意得：OB+BP=t，
∴AP=8-t，
∵△AOB为等边三角形，∴∠BAO=60°，
在Rt△AEP中，∠APE=30°，
∴AE=

1

2

AP=

1

2

（8-t），PE=OF=

AP2-AE2

=

3

2

（8-t），
∴OE=OA-AE=4-

1

2

（8-t）=

1

2

t，
在Rt△OFN中，∠FON=30°，
∴tan30°=

FN

OF

，即FN=

3

3

×

3

2

（8-t）=

1

2

（8-t），
∴S=S_矩形PEOF-S_△OFN=PE•OE-

1

2

FN•OF=

3

4

t（8-t）-

1

4

（8-t）•

3

2

（8-t）=-

3 3

8

t²+4

3

t-8

3

（4＜t＜8）；

（3）S=

3

8

t²（0≤t≤4），当t=4时，S_max=2

3

；
S=-

3 3

8

t²+4

3

t-8

3

（4＜t＜8），当t=-

4 3

2×(- 3 3 8 )

=

16

3

时，S_max=

8 3

3

，
∵

8 3

3

＞2

3

，
∴当t=

16

3

时，S最大值为

8 3

3

．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解本题第二问的关键．