Question

如图（1），直线y=

3

x+2

3

与x轴交于点A、与y轴交于点D，以AD为腰，以x轴为底作等腰梯形ABCD（AB＞CD），且等腰梯形的面积是8

3

，抛物线经过等腰梯形的四个顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（2）若点P为BC上的-个动点（与B、C不重合），以P为圆心，BP长为半径作圆，与x轴的另一个交点为E，作EF⊥AD，垂足为F，请判断EF与⊙P的位置关系，并给以证明；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使⊙P与y轴相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出图象上A，D点坐标，进而利用等腰梯形面积求出C，B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）利用等腰梯形的性质和等边三角形的性质得出PE∥DA，进而得出∠FEP=∠AFF=90°，即可得出答案；
（3）利用切线的性质以及锐角三角函数关系，设Q（x，0），则QB=4-x，则∠PBA=∠DAO=60°故PQ=

3

(4-x)，PB=8-2x，P[x，

3

(4-x)]，利用PG=PB得出x的值即可．

解答：解：（1）如图（1），
∵y=

3

x+2

3

，当x=0时，y=2

3

；当y=0时，x=-2
∴A（-2，0），D(0，2

3

)
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，∠OAD=∠OBC
过点C作CH⊥AB于点H，则AO=BH，OH=DC．
∵ABCD的面积是S=

1

2

(DC+AB)•DO
∴8

3

=

1

2

(DC+OH+2+2)×2

3

∴DC=2，
∴C（2，2

3

），B（4，0）
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），代入A（-2，0），D(0，2

3

)，B（4，0）
得

0=4a-2b+c 2 3 =c 0=16a+4b+c

，
解得

a=- 3 4 b= 3 2 c=2 3

，
即y=-

3

4

x2+

3

2

x+2

3

；

（2）如图（2）连结PE，∵PE=PB，
∴∠PBE=∠PEB
∵∠PBE=∠DAB
∴∠DAB=∠PBE
∴PE∥DA
∵EF⊥AD
∴∠FEP=∠AFF=90°
又∵PE为半径，
∴EF与⊙P相切．

（3）如图（3）设⊙P与y轴相切于点G，P作PQ⊥x轴于点Q，
设Q（x，0），则QB=4-x，
∵∠PBA=∠DAO，

OD

OA

=

3

∴∠PBA=∠DAO=60°
∴PQ=

3

(4-x)，PB=8-2x，P[x，

3

(4-x)]，
∵⊙P与y轴相切于点G，⊙P过点B，
∴PG=PB，
∴x=8-2x，
解得：x=

8

3

，
故P（

8

3

，

4 3

3

）．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及切线的性质与判定和待定系数法求二次函数解析式等知识，用未知数表示出P点坐标是解题关键．