Question

7．如图，矩形ABCD中，点E为AB中点，连接CE，将顶点B沿CE折叠至点P处，连接AP并延长交边CD于点F，
（1）判断四边形AECF为的形状并说明理由；
（2）若点P同时可看作是B点绕C点顺时针旋转60°得到，求证：△APB≌△ECP；
（3）若AB=6，BC=4，求$\frac{PF}{AP}$的值．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质与点E为AB中点，易得AE=BE=PE，BP⊥EC，即可证得∠APB=90°，则可得AF∥EC，又由AE∥FC，可证得四边形AECF为平行四边形；
（2）由旋转的性质，易得△PBC是等边三角形，则可得PB=PC，∠ABP=∠ECP=30°，然后由∠EPC=∠APB=90°，证得：△APB≌△ECP；
（3）首先利用勾股定理求得EC的长，然后利用直角三角形的面积，求得BQ的长，即可求得BP的长，又由勾股定理，求得AP的长，继而求得PF的长，则可求得答案．

解答 （1）四边形AECF为平行四边形．
证明：由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，
∵E为AB的中点，
∴AE=EB=PE，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形；

（2）∵点P同时可看作是B点绕C点顺时针旋转60°得到，
∴CB=CP，∠BCP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴PB=PC，∠PBC=∠PCB=60°，
由折叠的性质可得：∠EPC=∠EBC=90°，∠BCE=∠ECP=$\frac{1}{2}$∠PCB=30°，
∴∠EPC=∠APB=90°，∠ABP=90°-∠PBC=30°，
∴∠ABP=∠ECP，
在△ABP和△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠ECP}\\{PB=PC}\\{∠APB=∠EPC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ECP（ASA），

（3）解：设BP与CE相较于点Q，
在Rt△EBC中，EB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，BC=4，
∴EC=$\sqrt{E{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$EB•BC=$\frac{1}{2}$EC•BQ，
∴BQ=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
由折叠得：BP=2BQ=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AF=EC=5，FC=AE=3，
∴PF=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$，
∴$\frac{PF}{AP}$=$\frac{\frac{7}{5}}{\frac{18}{5}}$=$\frac{7}{18}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转与折叠的性质．注意掌握折叠与旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．