Question

3．如图，在?ABCD中，∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点E、F，点O、O₁分别为△CEF、△ABE的外心
（1）求证：O、E、O₁三点共线；
（2）求证：∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．

解答 解：（1）连接OE，OF，AO₁，EO₁，

∵点O，O₁分别是外心，
∴OE=OF，AO₁=EO₁，
∵∠EOF=2∠ECF=∠AO₁E=2∠ABE，
∴△OEF∽△O₁EA，
∴∠OEF=∠AEO₁，
∴O、E、O₁三点共线；
（2）连接OD，OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CEF=∠DAE=∠BAF=∠CFE，
∴CE=CF，
∵OE=OF=OC，
在△OCE与△OCF中
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{OE=OE}\\{OC=OF}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OCF（SSS），
∴∠OEC=∠OFC=∠OCF，
∴∠OEB=∠OCD，
∵∠BAE=∠EAD=∠AEB，EB=AB=DC，
在△OCD与△OEB中
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OC}\\{∠OEB=∠OCD}\\{EB=CD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OEB（SAS），
∴∠ODC=∠OBE，∠ODC=∠OBC，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD=∠OBC+∠CBD=∠ODC+∠BDO=∠ABC-∠OBD，
∴2∠OBD=∠ABC，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC．

点评 此题考查平行四边形的性质，关键是根据相似三角形和全等三角形的判定和性质解答．