Question

16．如图，平行四边形ABCD中，点P是CD的中点，AC与PB相交于点Q．
（1）求证：△ABQ∽△CPQ；
（2）若△CPQ的周长为6，面积为4，求出△ABQ的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）由相似三角形的判定可直接得出；
（2）根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方直接得出．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴△ABQ∽△CPQ；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，点P是CD的中点，
∴AB=CD=2CP，
∴$\frac{AB}{CP}=2$，
∵△ABQ∽△CPQ，
∴$\frac{△ABQ的周长}{△CPQ的周长}$=$\frac{AB}{CP}$=2，
$\frac{△ABQ的面积}{△CPQ的面积}=（\frac{AB}{CP}）^{2}$=4，
即$\frac{△ABQ的周长}{6}=2$．
$\frac{△ABQ的面积}{4}=4$，
∴△ABQ的周长=12，
△ABQ的面积=16．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．