Question

18．如图，直线y=2x+n与双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求m，n的值；
（2）过x轴上一点M作平行与y轴的直线l，分别与直线y=2x+n和双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）交于点P，Q，若PQ=2QM，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点的坐标分别代入直线和双曲线的解析式，即可求出答案；
（2）先根据m、n的值得出直线与反比例函数的解析式，设M（x，0），则Q（x，$\frac{4}{x}$），P（x，2x+2），用x表示出PQ与QM的长，再由PQ=2QM求出x的值即可．

解答 解：（1）把A（1，4）代入直线y=2x+n得：4=2+n，
解得：n=2；
把A（1，4）代入双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）得：4=$\frac{4}{1}$，
解得：m=4，
即m=4，n=2；

（2）∵m=4，n=2，
∴直线y=2x+n的解析式为：y=2x+2，双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的解析式为y=$\frac{4}{x}$．
设M（x，0），则Q（x，$\frac{4}{x}$），P（x，2x+2），
∴PQ=|2x+2-$\frac{4}{x}$|，QM=|$\frac{4}{x}$|，
∴|2x+2-$\frac{4}{x}$|=2|$\frac{4}{x}$|，
当x＞0时，2x+2-$\frac{4}{x}$＞0，$\frac{4}{x}$＞0，则2x+2-$\frac{4}{x}$=2×$\frac{4}{x}$，解得x=1或x=-3（舍去）；
当x＜0时，2x+2-$\frac{4}{x}$＜0，$\frac{4}{x}$＜0，则-（2x+2-$\frac{4}{x}$）=2×（-$\frac{4}{x}$），解得x=1（舍去）或x=-3．
∴M（1，0）或（-3，0）．
综上所述，M点的坐标为（1，0）或（-3，0）．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，先根据题意得出m、n的值是解答此题的关键．