题目内容
3．如图1，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAC=∠DCA，（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，若∠ACB=∠ABC，作CE平分∠DCA交AD于E，CF平分∠ECB交AB于F，求∠ECF的度数；
（3）如图3，若P是AB下一点，PQ平分∠BPC，PQ∥CN，CM平分∠DCP，若∠ABP=30°，下列结论：①∠DCP-∠MCN的值不变；②∠MCN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
分析 （1）根据内错角相等，两直线平行进行证明即可；
（2）设∠DCE=∠ACE=α，则∠CAB=2α，根据∠ACB=∠ABC，可得∠ACB=90°-α，进而得到∠BCE=90°，最后根据CF平分∠ECB，可得∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCE=45°；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠1=∠BPC+∠ABP，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MCP、∠DPQ，根据两直线平行，内错角相等可得∠NCP=∠CPQ，然后列式表示出∠MCN=$\frac{1}{2}$∠ABP，从而判定②正确．
解答 
解：（1）AB∥CD．
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CAB，
∴AB∥CD；
（2）∵CE平分∠DCA，AB∥CD，
∴可设∠DCE=∠ACE=α，则∠CAB=2α，
∵∠ACB=∠ABC，
∴△ABC中，∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAB）=90°-α，
∴∠BCE=∠BCA+∠ECA=90°-α+α=90°，
∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCE=45°；
（3）结论②正确．
如图，根据三角形的外角性质可得，∠1=∠BPC+∠ABP，
∵PQ平分∠BPC，CM平分∠DCP，
∴∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠BPC，∠MCP=$\frac{1}{2}$∠DCP．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DCP，
∴∠MCP=$\frac{1}{2}$（∠BPC+∠ABP），
∵PQ∥CN，
∴∠NCP=∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠BPC，
∴∠MCN=∠MCP-∠NCP=$\frac{1}{2}$（∠BPC+∠B）-$\frac{1}{2}$∠BPC=$\frac{1}{2}$∠ABP=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴结论②∠MCN的度数不变，为15°．
点评 本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形内角和是180°．
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．
如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
如图，正方形ABOD的边长为2，OB在x轴上，OD在y轴上，且AD∥OB，AB∥OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F．
如图，直线y=2x+n与双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4）．
如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠CAB=90°，A（-2，0），B（0，4），点C在第二象限且tan∠ACB=2，将Rt△ABC沿平行于y轴的某条直线翻折，得Rt△A1B1C1，若点B1，C1恰好落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，则k的值等于$\frac{16}{3}$．| A． | 10 | B． | 5$\sqrt{2}$ | C． | 5$\sqrt{3}$ | D． | 3$\sqrt{2}$ |