Question

6．如图，已知一次函数y₁=k₁x+6与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于A、B，与x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，已知sin∠DBC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，OC：CD=3：1．
（1）求y₁和y₂的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到$\frac{BD}{OE}$=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{1}{3}$，求出BD，根据正弦的概念求出CD、BC，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）求出A、B的纵坐标，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）y₁=k₁x+6与y轴的交点E的坐标为（0，6），
∴OE=6，
∵BD⊥x轴，
∴OE∥BD，
∴$\frac{BD}{OE}$=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=2，
∵sin∠DBC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴设CD=$\sqrt{5}$x，则BC=5x，
由勾股定理得，（5x）²=（$\sqrt{5}$x）²+4，
解得，x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则CD=$\sqrt{5}$x=1，则BC=5x=$\sqrt{5}$，
∴点B的坐标为（4，-2），
-2=k₁×4+6，
解得，k₁=-2，
则y₁=-2x+6，y₂=-$\frac{8}{x}$；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{8}{x}}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
则△AOB的面积=$\frac{1}{2}$×3×8+$\frac{1}{2}×$3×2=15．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、解直角三角形的应用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、方程组的解法是解题的关键．