Question

5．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE，F为AE中点，G为CD中点，连结GF．判断FG与DC的位置关系和数量关系．

Answer 1

分析 延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，由四边形BDMC是矩形，则BD=CM=DE．由于△DEB和△ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，得出△AEM是等腰直角三角形，F是斜边AE的中点，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么这两个角的补角也应当相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，于是△DEF≌△CMF，可得到DF=FC，即△DFC是等腰三角形，根据△DEF≌△CMF，得出∠MFC=∠DFE，又∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，得出△DFC是等腰直角三角形，所以FG⊥CD，FG=$\frac{1}{2}$CD．

解答 FG⊥CD，FG=$\frac{1}{2}$CD．
证明：延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，
∴四边形BCMD是矩形．
∴CM=BD．
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形
∴ED=BD=CM．
∵∠AEM=∠A=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形．
又F是AE的中点，
∴MF⊥AE，EF=MF，∠EDF=∠MCF．
∵在△EFD和△MFC中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=MC}\\{∠DEF=∠CMF}\\{EF=MF}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△MFC．
∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．
又∠EFD+∠DFM=90°，
∴∠MFC+∠DFM=90°．
即△CDF是等腰直角三角形，
又G是CD的中点，
∴FG⊥CD，FG=$\frac{1}{2}$CD．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键．