Question

8．观察下列各式
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
①根据以上规律，则（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1．
③根据②求出：1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵的结果．

Answer 1

分析 ①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；
②原式利用得出的规律化简即可得到结果；
③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果．

解答 解：①根据题意得：（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
②根据题意得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
③原式=（2-1）（1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵）=2³⁶-1．
故答案为：①x⁷-1；②xⁿ⁺¹-1；③2³⁶-1

点评 此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．