Question

9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m-1（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配方法即可解决问题．
（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．
②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．

解答 解：（1）∵y=mx²-2mx+m-1=m（x-1）²-1，
∴抛物线顶点坐标（1，-1）．
（2）①∵m=1，
∴抛物线为y=x²-2x，
令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），
∴线段AB上整点的个数为3个．
②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
∴点A在（-1，0）与（-2，0）之间（包括（-1，0）），
当抛物线经过（-1，0）时，m=$\frac{1}{4}$，
当抛物线经过点（-2，0）时，m=$\frac{1}{9}$，
∴m的取值范围为$\frac{1}{9}$＜m≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．