Question

4．如图，等边△ABO放置在平面直角坐标系中，OA=4，动点P、Q同时从O、B两点出发，分别沿OA、BO方向匀速运动，它们的速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点A时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜4），解答下列问题：
（1）求点Q的坐标（用含x的代数式表示）
（2）设△OPQ的面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）是否存在某个时刻x，使△OPQ的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$个平方单位？若存在，求出相应的x值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点Q作QD⊥OA于点D，解直角三角形QOD，分别求出OD，QD和x的关系式，即可得到点Q的坐标；
（2）由三角形面积公式可得s与x之间的二次函数关系式，然后利用配方法求得其最大值即可；
（3）存在某个时刻x的值，使△OPQ的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$个平方单位，由（2）可知把y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$代入求出对应的x值即可．

解答 解：
（1）过点Q作QD⊥OA于点D，如图所示：
∵△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵动点Q从B点出发，速度为每秒1个单位长度，
∴BQ=x，
∴OQ=4-x，
在Rt△QOD中，OD=OQ•cos60°=（4-x）×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$x，
QD=OQ•sin60°=（4-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴点Q的坐标为（2-$\frac{1}{2}$x，2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）；
（2）∵动点P从O点出发，速度为每秒1个单位长度，
∴OP=x，
∴S=$\frac{1}{2}$OP•QD=$\frac{1}{2}$x（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x，
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²+$\sqrt{3}$（0＜x＜4），
∵a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴当x=2时，S有最大值，最大值为$\sqrt{3}$；
（3）存在某个时刻x的值，使△OPQ的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$个平方单位，理由如下：，
假设存在某个时刻，使△OPQ的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$个平方单位，
由（2）可知）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
解得x=1或x=3，
∵0＜x＜4，
∴x=1或x=3都成了，
即当x=1s或3s时，能使△OPQ的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$个平方单位．

点评 本题主要考查了和三角形有关的知识，其中用到了二次函数的最值、等边三角形的性质、特殊角的锐角的锐角三角函数值、解一元二次方程、图形面积的求法，题目的综合性较强，对学生的计算能力要求很高，是一道不错的中考压轴题目．