Question

17．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．
（1）点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）点C到公路ME的距离为2km，设AB的垂直平分线交ME于点N，点M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处没得点C位于点N的北偏西45°方向，求MN的长（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C；
（2）作CD⊥MN于点D．由三角函数得出MD=$\sqrt{3}$CD，DN=CD，于是得到结论．

解答 解：（1）如图所示，点C即为所求；

（2）作CD⊥MN于点D，
由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，
∵在Rt△CMD中，$\frac{CD}{MD}$=tan∠CMN，
∴MD=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$；
∵在Rt△CND中，$\frac{CD}{DN}$=tan∠CNM，
∴ND=CD=2，
∵MN=DM+DN=2$\sqrt{3}$+2km，

点评 本题考查了解直角三角形的应用、作图-设计；熟练掌握基本作图和解直角三角形是解决问题的关键．