Question

方程（x-1）²+（y-1）²=xy+7的所有正整数解有（　　）组．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）

专题：

分析：根据x、y的对称性，可以分别给出x的正整数值，求得y的值，即可判断．

解答：解：∵（x-1）²+（y-1）²=xy+7，
∴（x-1）²+（y-1）²-xy-7=0，
∵0=（x-1）²+（y-1）²-xy-7≥2（x-1）（y-1）-xy-7，
∴2（x-1）（y-1）-xy-7≤0，
即（x-2）（y-2）≤9．
当x=1时，代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得：（y-1）²=y+7，此时y不是整数．
同理，当y=1时，x不是整数；
当x=2时，把x=2代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得，1+（y-1）²=2y+7，解得：y=5或-1（舍去），
则方程有正整数解：

x=2 y=5

，
同理，有正整数解

x=5 y=2

；
当x=3时，代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得：4+（y-1）²=3y+7，解得：y=

5± 33

2

（舍去）；
同理，当y=3时，也没有正整数解；
当x=4时，代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得：9+（y-1）²=4y+7，解得：y=3±

6

，
同理，当y=4时，也没有正整数解；
当x=5时，代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得：16+（y-1）²=5y+7，解得：y=5或2．
则方程有正整数解

x=5 y=5

，

x=5 y=2

．
同理，当y=5时，有整数解：

x=5 y=5

和

x=2 y=5

；
当x≥6时，y一定有y≥6，则（x-2）（y-2）≤9不成立，此时方程无解．
则方程的正整数解是：

x=2 y=5

，

x=5 y=2

，

x=5 y=5

共有3组．
故选C．

点评：本题考查了方程的正整数解，理解x、y的关系：让x=a时，求得y的值，与当y=a时，求得x的值，则x和值和y的值是相等的，理解这一性质是关键．