Question

3．（1）计算并观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（2）从上面的算式及计算结果，请根据你发现的规律填空：
（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁸-1；
（3）填空：
（x-1）（x²⁰¹⁵+x²⁰¹⁴+x²⁰¹³+…+x²+x+1）=x²⁰¹⁶-1；
（4）计算：1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 （1）利用多项式乘以多项式法则计算各式即可；
（2）根据（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式利用得出的规律计算即可得到结果；
（4）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．

解答 解：（1）（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（2）（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁸-1；
（3）（x-1）（x²⁰¹⁵+x²⁰¹⁴+x²⁰¹³+…+x²+x+1）=x²⁰¹⁶-1；
（4）由上述规律得：原式=（2-1）（1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶）=2²⁰¹⁷-1．
故答案为：（1）x²-1；x³-1；x⁴-1；（2）x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1；（3）x²⁰¹⁶-1．

点评 此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．