在平面直角坐标系中.有很多点的横坐标和纵坐标相等.我们把这样的点定义为“梦之点 .比如:.$({\frac{1}{2}.\frac{1}{2}})$.(0.0).$-$根据上述信息.完成下列问题:(1)请直接写出反比例函数$y=\frac{9}{x}$上的所有“梦之点的坐标为,(2)若一次函数y=mx-m+1的图象上只存在一个“梦之点 .请求出“梦之点的坐标,(3)若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在平面直角坐标系中，有很多点的横坐标和纵坐标相等，我们把这样的点定义为“梦之点”，比如：（-1，-1）、$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$、（0，0）、$（{\sqrt{3}，\sqrt{3}}）…$根据上述信息，完成下列问题：
（1）请直接写出反比例函数$y=\frac{9}{x}$上的所有“梦之点”的坐标为（3，3）和（-3，-3）；
（2）若一次函数y=mx-m+1（m≠0）的图象上只存在一个“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标；
（3）若二次函数y=x²+ax-a（a是常数）的图象上存在两个不同的“梦之点”P（p，p）、Q（-p，-p），请求出a的值．

分析（1）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案
（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案．
（3）先将P（p，p）、Q（-p，-p）代入y=x²+ax-a，得到ax₁²-（a+1）x₁+1=0，ax₂²-（a+1）x₂+1=0p=ap²+ap-a，-p=ap²-pa-a，根据方程的解的定义可知p，-p是一元二次方程ax²+（a-1）x-a=0的两个不等实根，由根与系数的关系可得p+（-p）=-$\frac{a-1}{a}$=0，即可得出a的值．

解答解：（1）设反比例函数$y=\frac{9}{x}$上的“梦之点”的坐标为（a，a），则
k=a²=9，
解得a=±3，
故反比例函数$y=\frac{9}{x}$上的所有“梦之点”的坐标为（3，3）和（-3，-3），
故答案为（3，3）和（-3，-3）；
（2）设“梦之点”是（b，b），
把（b，b）代入y=kx-k+1（k≠1），得b=kb-k+1．
化简，得b-kb=1-k．
解得b=1，
故一次函数y=mx-m+1（m≠0）的图象上只存在一个“梦之点”，即“梦之点”是（1，1），
故函数y=kx-k+1（k≠1）的图象上有“梦之点”是（1，1）．
（3）∵二次函数y=x²+ax-a（a是常数）的图象上存在两个不同的“梦之点”P（p，p）、Q（-p，-p），
∴p=ap²+ap-a，-p=ap²-pa-a，
∴ap²+（a-1）p-a=0，ap²-（a-1）p-a=0，
∴p，-p是一元二次方程ax²+（a-1）x-a=0的两个不等实根，
∴p+（-p）=-$\frac{a-1}{a}$=0，
∴a=1．