Question

20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点B，与直线CD交于点A（-$\frac{12}{11}$，a），点D的坐标为（0，$\frac{3}{2}$），点C在x轴上
（1）求a的值；
（2）求直线CD的解析式；
（3）若点E是直线CD上一动点（不与点C重合），当△CBE∽△COD时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A的横坐标代入直线y=x+3中即可求出a；
（2）用待定系数法直接求出直线CD的解析式；
（3）先由两三角形相似即可得出∠CBE=90°，进而得出点E的横坐标，再代入直线CD的解析式中，即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（-$\frac{12}{11}$，a）在直线y=x+3上，
∴-$\frac{12}{11}$+3=a，
∴a=$\frac{21}{11}$，

（2）∵D（0，$\frac{3}{2}$），
∴设直线CD的解析式为y=kx+$\frac{3}{2}$（k≠0），
由（1）知，a=$\frac{21}{11}$，
∴A（-$\frac{12}{11}$，$\frac{21}{11}$），
∵点A在直线CD上，
∴$\frac{21}{11}$=-$\frac{12}{11}$k+$\frac{3}{2}$，
∴k=-$\frac{3}{8}$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{3}{8}$x+$\frac{3}{2}$；

（3）∵点B是直线y=x+3与x轴的交点，
∴B（-3，0），
∵△CBE∽△COD，
∴∠CBE=∠COD=90°，
∴点E的横坐标为-3，
当x=-3时，y=-$\frac{3}{8}$×（-3）+$\frac{3}{2}$=$\frac{21}{8}$，
∴E（-3，$\frac{21}{8}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求直线解析式，相似三角形的性质，解本题的关键是求出直线CD的解析式，是一道比较简单的题目．