Question

5．已知：抛物线y=ax²+bx-3经过点A（7，-3），与x轴正半轴交于点B（m，0）、C（6m、0）两点，与y轴交于点D．
（1）求m的值；
（2）求这条抛物线的表达式；
（3）点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得点D的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x-m）（x-6m），把点D和点A的坐标代入可求得m的值；
（2）由6am²=-3，m=1可求得a的值，然后代入抛物线的解析式即可；
（3）过点P作PE⊥x轴，垂足为E．设点Q的坐标为（a，0）则OQ=-a，然后证明△ODQ∽△EQP，依据相似三角形的性质可求得QE=6，PE=-2a．，则P的坐标为（a+6，-2a），将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．

解答 解：（1）当x=0时，y=-3，
∴D（0，-3）．
设抛物线的解析式为y=a（x-m）（x-6m）．
把点D和点A的坐标代入得：6am²=-3①，a（7-m）（7-6m）=-3②，
∴a（7-m）（7-6m）=6am²．
∵a≠0，
∴（7-m）（7-6m）=m²．
解得：m=1．

（2）∵6am²=-3，
∴a=-$\frac{3}{6{m}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
将a=-$\frac{1}{2}$，m=1代入得：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x-3．
∴抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x-3．

（3）如图所示：过点P作PE⊥x轴，垂足为E．

设点Q的坐标为（a，0）则OQ=-a
-∵∠DQP=90°，
∴∠PQO+∠OQD=90°．
又∵∠ODQ+∠DQO=90°，
∴∠PQE=∠ODQ．
又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，
∴△ODQ∽△EQP．
∴$\frac{QO}{PE}$=$\frac{OD}{QE}$=$\frac{QD}{QP}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{-a}{3}$=$\frac{PE}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴QE=6，PE=-2a．
∴P的坐标为（a+6，-2a）
将点P的坐标代入抛物线的解析式得：-$\frac{1}{2}$（a+6）²+$\frac{7}{2}$（a+6）-3=-2a，整理得：a²+a=0，
解得a=-1或a=0．
当a=-1时，Q（-1，0），P（5，2）；当a=0时，Q（0，0），P（6，0）．
综上所述，Q（-1，0），P（5，2）或者Q（0，0），P（6，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，用含a的式子表示出点P的坐标是解题的关键．