Question

10．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE=PA，PE交CD于F．
（1）求证：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC=65°，则∠CPE=115度．

Answer 1

分析 （1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）由△DPA≌△DPC，推出∠DAP=∠DCP，PA=PC，推出PA=PE，推出∠DAP=∠E，推出∠E=∠PCD，由∠DFE=∠CFP，推出∠CPF=∠EDF，由此即可解决问题；

解答 解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；

（3）在菱形ABCD中，AD=DC，∠ADP=∠CDP，DP=DP，
∴△DPA≌△DPC，
∴∠DAP=∠DCP，PA=PC，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠E=∠PCD，
∵∠DFE=∠CFP，
∴∠CPF=∠EDF，
∵∠ABC=∠ADC=65°，
∴∠CPE=∠EDF=180°-∠ADC=115°
故答案为115．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形的条件是解题的关键．