Question

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．垂足为D，E是AC的中点，ED、CB的延长线于点F．
（1）求证；△FDB∽△FCD；
（2）如果AC=3，BC=2，求△CBD、△FDB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得出AE=DE，推出∠A=∠ADE，求出∠A=∠BCD=∠FDB，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，根据勾股定理求出BD，即可求出△BDC的面积，根据相似三角形的性质即可求出△FCD的面积．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵E为AC的中点，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE，
∵∠ADE=∠FDB，
∴∠A=∠FDB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD=∠FDB，
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FCD；

（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$AB×CD=$\frac{1}{2}$AC×BC，
$\sqrt{13}$CD=3×2，
解得：CD=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{6\sqrt{13}}{13}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
所以△CDB的面积为$\frac{1}{2}$×BD×CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{13}}{13}$×$\frac{6\sqrt{13}}{13}$=$\frac{12}{13}$，
∵△FDB∽△FCD，
∴$\frac{{S}_{△FDB}}{{S}_{△FCD}}$=（$\frac{BD}{CD}$）²=（$\frac{\frac{4\sqrt{13}}{13}}{\frac{6\sqrt{13}}{13}}$）²=$\frac{4}{9}$，
∴△FDB的面积为$\frac{4}{9}$×$\frac{12}{13}$=$\frac{16}{39}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．