Question

17．如图1，已知直线AB，CD被直线AC，BD所截，连接AD，∠ACD=∠ABD=116°，点E，F在线段CD上，且∠FAD=∠ADF，∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAB，AE平分∠CAF．

（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，若将直线BD沿AB方向平移，当∠CAE=∠CDA时，求∠EAF的度数．

Answer 1

分析 （1）通过角的计算找出∠BAD=∠FAD，从而得出∠BAD=∠ADF，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得出结论；
（2）根据角与角之间的关系找出∠CAE=∠EAF=∠FAD=∠BAD，即∠EAF=$\frac{1}{4}$∠BAC，再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可算出∠EAF的度数．

解答 解：（1）证明：∵∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠BAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠EAD=∠FAD+∠EAD，
又∵AE平分∠CAF，
∴∠CAE=∠EAF，
∴∠BAD=∠FAD=∠ADF，
∴AB∥CD．
（2）∵AB∥CD，
∴∠CDA=∠BAD，∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠CAE=∠EAF，∠CAE=∠CDA，∠FAD=∠ADF，
∴∠CAE=∠EAF=∠FAD=∠BAD，
∴∠EAF=$\frac{1}{4}$∠BAC=$\frac{1}{4}$（180°-∠ACD）=16°．

点评 本题考查了平行线的判定与性质以及平移的性质，解题的关键是：（1）找出∠BAD=∠ADF；（2）找出∠EAF=$\frac{1}{4}$∠BAC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出相等的角，再由角相等找出直线平行是关键．