Question

20．已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在射线AB、射线BC上，AE=BF，DE与AF交于点O．

（1）如图1，当点E、F分别在线段AB、BC上时，则线段DE与线段AF的数量关系是DE=AF，位置关系是DE⊥AF．
（2）将线段AE沿AF进行平移至FG，连结DG．
①如图2，当点E在AB延长线上时，补全图形，写出AD，AE，DG之间的数量关系．
②若DG=5$\sqrt{2}$，BE=1，直接写出AD长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAE≌△ABF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）①根据平移的性质证明四边形FAEG是平行四边形，得到AF=EG，根据勾股定理得到DE²=AD²+AE²，证明△DAE≌△ABF，根据等腰直角三角形的性质解答；
②代入数据计算即可．

解答 解：（1）在△DAE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}\\{∠DAE=∠ABF=90°}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF，
∴DE=AF，∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，即∠AOE=90°，
∴DE⊥AF，
故答案为：DE=AF；DE⊥AF；
（2）①DG²=2AD²+2AE²．
由题意得，AE=FG，AE∥FG，
∴四边形FAEG是平行四边形，
∴AF=EG，
由勾股定理得，DE²=AD²+AE²，
在△DAE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}\\{∠DAE=∠ABF=90°}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF，
∴DE=AF，DE⊥AF，
∴DE=EG，DE⊥EG，
∴DG²=2DE²，
∴DG²=2AD²+2AE²．
②由①得，（5$\sqrt{2}$）²=2×AD²+2（AD+1）²，
解得，AD₁=3，AD₂=-4（舍去），
答：AD长为3．

点评 本题考查的是正方形的性质、平移变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四个角是直角、四条边都相等是解题的关键，解答时注意全等三角形的判定定理和性质定理的灵活运用．