Question

四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的内（或外）角平分线分别为AE和CF．
（1）当AE，CF都为内角平分线时，不难证明AE∥CF．过程如下：（如图1）
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠D）．而∠B=∠D=90°．∠1=∠2，3=∠4，
∴2（∠2+∠4）=360°-180°=180°
则∠2+∠4=90°
又∵∠B=90°∴，2+∠5=90°，则∠4=∠5．∴AE∥CF．
（2）当AE，CF时都为角平分线时（如图2），AE与CF位置关系怎样？给出证明．
（3）当AE是内角平分线，CF是外角平分线时（如图3），请你探索AE与CF的位置关系，并给出证明．

Answer 1

考点：平行线的判定,垂线

专题：探究型

分析：（2）作DP∥AE，如图2，根据四边形内角和为360°得∠BAD+∠BCD=180°，则根据邻补角的定义得到∠GAD+∠BCH=180°，再根据角平分线先定义得∠1=

1

2

∠GAD，∠4=

1

2

∠BCH，所以∠1+∠4=90°，由PD∥AE得到∠1=∠2，而∠2+∠3=90°，则∠1+∠3=90°，理由等量代换得∠3=∠4，所以PD∥CF，于是得到AE∥CF；
（3）如图3，根据四边形内角和为360°得∠BAD+∠BCD=180°，则∠BAD=∠BCE，再由AE，CF时都为角平分线得∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCE，则∠1=∠2，根据三角形内角和定理得∠5=∠B=90°，则AE⊥CF．

解答：解：（2）AE∥CF．理由如下：
作DP∥AE，如图2，
∵四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠GAD+∠BCH=180°，
∵AE，CF时都为角平分线，
∴∠1=

1

2

∠GAD，∠4=

1

2

∠BCH，
∴∠1+∠4=90°，
∵PD∥AE，
∴∠1=∠2，
而∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴PD∥CF，
∴AE∥CF；
（3）AE⊥CF．理由如下：
如图3，
∵四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCE，
∵AE，CF时都为角平分线，
∴∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCE，
∴∠1=∠2，
而∠3=∠4，
∴∠5=∠B=90°，
∴AE⊥CF．

点评：本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行．也考查了四边形的内角和和垂线．