Question

如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=

1

2

x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，O为坐标原点；
（1）求抛物线的解析式并用配方法求顶点M的坐标；
（2）若抛物线上有一点P，使∠PCB=∠ABC，求P点坐标；
（3）将抛物线y=

1

2

x²+bx+c向上平移

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2

个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，直接写出m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元一次不等式组,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式

专题：综合题

分析：（1）只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式，然后用配方法就可求出顶点M的坐标；
（2）可分点P在x轴的下方和上方两种情况讨论，当点P在x轴下方时，根据抛物线的轴对称性得到点P的坐标；当点P在x轴上方时，直线PC与直线AB平行，可用待定系数法求出直线AB的解析式，然后再根据两平行直线一次项的系数相同，求出直线PC的解析式，然后只需求出直线PC与抛物线的交点坐标，就可解决问题；
（3）根据条件可得新抛物线的顶点M坐标为（1-m，-1），故点M始终在直线y=-1上．设直线y=-1与直线AB交于点P，与直线AC交于点Q，由点M在△ABC内可得点M在线段PQ上（不包括端点P、Q），只需求出点P、Q的坐标，就可解决问题．

解答：解：（1）∵点A（0，-4）、B（-2，0）在抛物线y=

1

2

x²+bx+c上，
∴

c=-4 2-2b+c=0

，
解得：

b=-1 c=-4

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-x-4．
∵y=

1

2

x²-x-4=

1

2

（x²-2x+1-1）-4=

1

2

（x-1）²-

9

2

，
∴抛物线的顶点M的坐标为（1，-

9

2

）；

（2）①点P在x轴的下方，如图1，

∵∠PCB=∠ABC，点B与点C关于对称轴x=1对称，
∴点A（0，-4）与点P也关于对称轴x=1对称，
∴点P的坐标为（2，-4）；
②点P在x轴的上方，直线PC记为直线l，如图2，

令y=0，得

1

2

（x-1）²-

9

2

=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴点C的坐标为（4，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+t，
则有

-2k+t=0 t=-4

，
解得：

k=-2 t=-4

，
∴直线AB的解析式为y=-2x-4．
∵∠PCB=∠ABC，
∴直线AB∥直线l，
∴直线l可设为y=-2x+n，
∵点C（4，0）在直线y=-2x+n上，
∴-8+n=0，
∴n=8，
∴直线l的解析式为y=-2x+8，
解方程组

y=-2x+8 y= 1 2 x2-x-4

，
得

x1=-6 y1=20

或

x2=4 y2=0

，
∴点P的坐标为（-6，20）．
综上所述：点P的坐标为（2，-4）或（-6，20）；

（3）m的取值范围为-2＜m＜

5

2

．
解题过程如下：
由题可得新抛物线顶点M的坐标为（1-m，-

9

2

+

7

2

）即（1-m，-1）．
设直线AC的解析式为y=px+q，
则有

4p+q=0 q=-4

，
解得：

p=1 q=-4

，
∴直线AC的解析式为y=x-4．
设直线y=-1与直线AB交于点P，与直线AC交于点Q，如图3，

由-2x-4=-1，得x=-

3

2

，则点P的坐标为（-

3

2

，-1）；
由x-4=-1，得x=3，则点P的坐标为（3，-1）．
∵新抛物线的顶点M（1-m，-1）在△ABC内，
∴点M在线段PQ上（不包括端点P、Q），
∴

1-m＞- 3 2 1-m＜3

，
解得：-2＜m＜

5

2

．

点评：本题主要考查了用待定系数法求抛物线及直线的解析式、抛物线的轴对称性、解不等式组等知识，正确进行分类是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置是解决第（3）小题的关键．