Question

14．如图1，已知点A的坐标为（-5，0），点B与点A关于y轴对称，点C的坐标为（0，3），点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度运动，设点P运动时间为t秒．
（1）点P的坐标为（5-t，0）．（用含t的代数式表示）
（2）如图2，以点P为圆心，PO为半径画⊙P，当⊙P与直线AC相切时，求出t的值．
（3）如图3，若点Q以与点P相同的速度，同时从点A出发向点B方向运动，当点Q到达B时，以同样的速度返回向点A运动，当点Q到达A点时P，Q同时停止运动，过点Q作直线QT⊥x轴，交直线AC于点T，连接PT，BT．问在点P、Q运动过程中是否存在t使得△PBT为以PT为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出OP的长即可解决问题．
（2）如图2中，作BT⊥AC于T，设⊙P与AC相切于点H，连接PH．求出BT，首先判断在点O的右侧不存在⊙P与AC相切的情形，由PH∥BT，可得$\frac{PH}{BT}$=$\frac{AP}{AB}$，右侧列出方程求解即可．
（3）分三种情形求解①如图3中，当P、Q都在线段AB上运动时，由题意PB=t，PT=$\sqrt{Q{T}^{2}+P{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（10-2t）^{2}}$，当PT=PB时，则有（$\frac{3}{5}$t）²+（10-t）²=t²，解方程即可．②如图4中，当TP=TB时，易知QB=PQ．右侧列出方程即可．③如图5中，当点P在线段BA的延长线上时，由题意PQ=10，TQ=6，PT=$\sqrt{1{0}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，只有PT=PB时，满足条件，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵B（5，0），PB=t，
∴OP=|5-t|，
∴P（5-t，0）．
故答案为（5-t，0）

（2）如图2中，作BT⊥AC于T，设⊙P与AC相切于点H，连接PH．

在Rt△AOC中，∵OA=5，OC=3，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∵∠OAC=∠BAT，∠AOC=∠ATB，
∴△AOC∽△ATB，
∴$\frac{OC}{TB}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{3}{BT}$=$\frac{\sqrt{34}}{10}$，
∴BT=$\frac{15\sqrt{34}}{17}$＞5，
∴BT＞OB，
∴在点O的右侧不存在⊙P与AC相切的情形，
∵PH∥BT，
∴$\frac{PH}{BT}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{t-5}{\frac{15\sqrt{34}}{17}}$=$\frac{10-t}{10}$，
解得t=$\frac{16+3\sqrt{34}}{5}$．

（3）①如图3中，当P、Q都在线段AB上运动时，

由题意PB=t，PT=$\sqrt{Q{T}^{2}+P{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（10-2t）^{2}}$，
当PT=PB时，则有（$\frac{3}{5}$t）²+（10-t）²=t²，
解得t=$\frac{25}{7}$s或$\frac{25}{3}$s．
②如图4中，当TP=TB时，易知QB=PQ．

则有2t-10=10-t，
解得t=$\frac{20}{3}$s．
③如图5中，当点P在线段BA的延长线上时，

由题意PQ=10，TQ=6，PT=$\sqrt{1{0}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
只有PT=PB时，满足条件，
则有t=PB=2$\sqrt{34}$s，
综上所述，当△PBT为以PT为腰的等腰三角形时，t的值为$\frac{25}{7}$s或$\frac{25}{3}$s或$\frac{20}{3}$s或2$\sqrt{34}$s．

点评 本题考查圆综合题、切线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．