Question

8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），抛物线y=ax²+bx+c的顶点为坐标原点O，且与直线y=2x-4有唯一交点B．
（1）抛物线的函数表达式为y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）如图1，设直线y=2x-4与y轴交于点D，点P是抛物线上一点．
①过点P作PE∥y轴，交直线BD于点E，若△ADE与△ABD相似，求点P的坐标；
②将△ABD沿直线BD折叠后，点A落在点C处（图2），是否存在点P，使得S_△PCD=3S△_PAB？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线y=ax²+bx+c的顶点为坐标原点O，则b=c=0，与直线y=2x-4有唯一交点B，则根据根的判别式即可求解；
（2）求得D的坐标，利用三角形相似，则E的坐标即可求得，进而求得P的坐标；
（3）首先求得C的坐标，证明AB与CD平行且相等，则P在经过点（0，-$\frac{1}{4}$）且平行于AB的直线上，求得直线的解析式，然后解方程求解．

解答 解：（1）抛物线y=ax²+bx+c的顶点为坐标原点O，则b=c=0，
根据题意得：ax²=2x-4，
即ax²-2x+4=0，
△=4-16a=0，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
则抛物线的解析式是：y=$\frac{1}{4}$x²；

（2）①在y=2x-4中，令x=0，解得：y=-4，则D的坐标是（0，-4）．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
则B的坐标是（4，4）．
由于△ADE与△ABD相似，那么只可能是△ADE∽△BDA，作图可知E在BD线段上，
则有$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}$，设E（x，2x-4），则有DE=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-4-（-4））^{2}}$=$\sqrt{5}x$；
又易求BD=$4\sqrt{5}$，AD=5；
故由AD²=BD×DE可求得x=$\frac{5}{4}$，再将x=$\frac{5}{4}$代入抛物线方程求得y=$\frac{25}{64}$；
即P点的坐标为（$\frac{5}{4}$，$\frac{25}{64}$）．
②设经过点A与BD垂直的直线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+c，
把（0，1）代入得：c=1，则解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+1，
设C的坐标是（m，-$\frac{1}{2}$m+1），则AC的中点坐标是（$\frac{m}{2}$，$\frac{-\frac{1}{2}m+1+1}{2}$），即（$\frac{m}{2}$，-$\frac{1}{4}$m+1），代入y=2x-4得：m-4=-$\frac{1}{4}$m+1，
解得：m=4．
则C的坐标是（4，-1）．
作BN⊥y轴于点N，作CM⊥y轴于点M．则M的坐标是（0，-1），N的坐标是（0，4）．
则在直角△ABN和直角△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=CM}\\{AN=DM}\end{array}\right.$，
∴直角△ABN≌直角△DCM（HL），
∴∠BAN=∠CDM，AB=CD，
∴AB∥CD．
∵S_△PCD=3S△_PAB，
在线段AD上的点E，使DE=3AE，则E的坐标是（0，-$\frac{1}{4}$），
设AB的解析式是y=mx+n，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{4m+n=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{m=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
则经过（0，-$\frac{1}{4}$）且平行与AB的直线的解析式是y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{7+3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{7-3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$，
则P的坐标是（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7+3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7-3\sqrt{5}}{8}$）．
在DA的延长线上，到D和A的距离是1：3的点是（0，$\frac{7}{2}$），
则过（0，$\frac{7}{2}$）且平行与AB的直线的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{2}$．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{65}}{2}}\\{y=\frac{37+3\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{65}}{2}}\\{y=\frac{37-3\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$，
则P的坐标是（$\frac{3+\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37+3\sqrt{65}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37-3\sqrt{65}}{8}$）．
总之，P的坐标是（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7+3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7-3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3+\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37+3\sqrt{65}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37-3\sqrt{65}}{8}$）．

法二②：如图
∵BC=AB=5=AD=CD，故易证四边形ABCD为菱形，
由于S_△PCD=3S△_PAB，AB∥CD且AB=CD，所以存在直线l上的所有点都符合题目要求，l∥AB∥CD，且l与CD的距离是l与AB距离的三倍；
设P点在直线y=$\frac{3}{4}$x+b上，且与y轴相交于Q点，当QD=3QA时，Q的坐标为（0，$-\frac{1}{4}$）或Q'（0，$\frac{7}{2}$）；
求得l'的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$，联立抛物线方程解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{7+3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{7-3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$；
l''的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{2}$，联立抛物线方程解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{65}}{2}}\\{y=\frac{37+3\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{65}}{2}}\\{y=\frac{37-3\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$；
综上：P的坐标是（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7+3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7-3\sqrt{5}}{8}$）或（$\frac{3+\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37+3\sqrt{65}}{8}$）或（$\frac{3-\sqrt{65}}{2}$，$\frac{37-3\sqrt{65}}{8}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及直线垂直和平行的条件，判断AB与CD平行且相等是解题的关键．