Question

18．如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，EA=AP=1，且D、P、E三点共线，若PB=$\sqrt{5}$，则PC=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连结BE，利用已知条件首先证明△AEB≌△APD，再证明△PEB为直角三角形，利用勾股定理计算即可．

解答 解：连结BE，
∵∠EAP=∠BAD=90°，
∴∠EAP-∠BAP=∠BAD-∠BAP，
∴∠EAB=∠PAD，
∵AE=AP，AB=AD，
在△AEB和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}\\{∠EAB=∠PAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△APD，
∴BE=DP，∠AEB=∠APD，
∵∠APE=45°，D，P，E三点共线，
∴∠PAD+∠PDA=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∵∠AEP=45°，
∴∠PEB=∠AEB-∠AEP=90°，
∴△PEB为直角三角形，
∵EA=PA=1，
∴EP=$\sqrt{2}$，
∵PB=$\sqrt{5}$
∴BE=DP=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及直角三角形的判定，题目的综合性较强，难度不小．