Question

19．已知：如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的图象交于A（3，1）、B（m，-3）两点．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式．
（2）若点P是直线y=ax+b（a≠0）上一点，且△OPA的面积为1，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入反比例函数解析式，求得k的值，得到反比例函数解析式；再把B点坐标代入反比例函数解析式求得m的值，然后把A，B两点坐标分别代入一次函数解析式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）先求出直线AB：y=x-2与x轴交点C的坐标，根据三角形的面积公式求出S_△OCA=$\frac{1}{2}$×2×1=1=S_△OPA，那么P与C重合，即P（2，0）；再由三角形的中线将三角形的面积平分，得出P′与C关于A成中心对称，即A为CP′的中点，根据中点坐标公式求出P′点的坐标．

解答 解：（1）∵点A（3，1）在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$；
又∵点B（m，-3）在y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴m=-1，
∴点B的坐标为（-1，-3），
把A（3，1）和B（-1，-3）两点的坐标代入y=ax+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{-a+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析为y=x-2；

（2）设直线AB：y=x-2与x轴交于点C，则C（2，0）．
∵S_△OCA=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
∴P与C重合，即P（2，0）；
∵三角形的中线将三角形的面积平分，
∴当AP′=AC=$\frac{1}{2}$P′C时，S_△OP′A=S_△OCA=1，
此时P′与C关于A成中心对称，即A为CP′的中点，
∵A（3，1），C（2，0），
∴P′点的坐标为（2×3-2，2×1-0），即（4，2）．
综上所述，所求点P的坐标为（2，0）或（4，2）．

点评 本题考查了反比例函数与一函数的交点问题，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积，中点坐标公式等知识，准确求出函数的解析式是解题的关键．