Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=20，点P在AB上，AP=6．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段PA向点A作匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段PB向点B作匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，点F运动到点B时，点E随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是3；当t=4时，正方形EFGH的边长是8；
（2）当0＜t≤3时，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）当t=1时，根据PE=2t，PF=t即可求出EF的值，当t=4时，点E运动到点A后返回，PE=2AP-2t，PF=t，由此即可求出EF的值；
（2）当点H在线段AC上时，可求出t=$\frac{6}{5}$，可分两种情况讨论：当0＜t≤$\frac{6}{5}$时，S=S_{正方形EFGH}=EF²，只需用t的代数式表示出EF即可解决问题；当$\frac{6}{5}$＜t≤3时，S=S_{五边形EFGMN}=S_{正方形EFGH}-S_△MHN=EF²-$\frac{1}{2}$HN•HM，只需用t的代数式分别表示出EF、HN、HM即可解决问题．

解答 解：（1）当t=1时，PE=2×1=2，PF=1×1=1，EF=EP+PF=2+1=3．
当t=4时，PE=12-2×4=4，PF=1×4=4，EF=EP+PF=4+4=8．
故答案分别为：3、8；

（2）当点H在线段AC上时，
则有AE=HE=EF，即6-2t=3t，
解得：t=$\frac{6}{5}$．
①当0＜t≤$\frac{6}{5}$时，

EF=EP+PF=2t+t=3t，
则S=9t²；
②当$\frac{6}{5}$＜t≤3时，

∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=45°．
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=EF=3t，∠H=∠HEF=90°，
∴∠ANE=90°-45°=45°，
∴∠ANE=∠A=45°，
∴NE=AE=AP-EP=6-2t，
∴HN=HE-NE=3t-（6-2t）=5t-6．
∵∠HNM=∠ANE=45°，
∴∠HMN=90°-45°=45°，
∴∠HMN=∠HNM=45°，
∴HM=HN=5t-6，
∴S=S_{正方形EFGH}-S_△NHM
=（3t）²-$\frac{1}{2}$（5t-6）²
=-$\frac{7}{2}$t²+30t-18．
综上所述：S与t的函数关系式为
S=$\left\{\begin{array}{l}{9{t}^{2}，0＜t≤\frac{6}{5}}\\{-\frac{7}{2}{t}^{2}+30t-18，\frac{6}{5}＜t≤3}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，在解题的过程中用到了割补法、分类讨论的思想，准确分类是解决第（2）小题的关键．