Question

3．问题情境：矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交，交点为E、F．

探究1：如图1，当PE⊥AB，PF⊥BC时，则$\frac{PE}{PF}$=$\sqrt{3}$；
探究2：如图2，在（1）的基础上，将三角板绕点P逆时针旋转，旋转角为α，（0°＜α＜60°），试求$\frac{PE}{PF}$的值．
探究3：在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°时，将顶点P在AC上移动且使$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$时，如图3，试求$\frac{PE}{PF}$的值．

Answer 1

分析 （1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得$\frac{PE}{PF}$的值；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得$\frac{PE}{PF}$的值；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得$\frac{PM}{PN}$的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由$\frac{PE}{PF}$求得$\frac{PE}{PF}$的值．与（1）（2）问相比较，$\frac{PE}{PF}$的值发生了变化．

解答 解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE与△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠CPF}\\{PA=PC}\\{∠APE=∠PCF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中，$\frac{PF}{CF}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．

0°～30°时
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{PM}{PN}$，
由（1）知，$\frac{PM}{PN}=\sqrt{3}$，
∴$\frac{PE}{PF}=\sqrt{3}$．
同理30°～60°时，
$\frac{PE}{PF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴$\frac{PM}{CN}=\frac{AP}{PC}=\frac{1}{2}$，得CN=2PM．
在Rt△PCN中，$\frac{PN}{CN}$=$\frac{PN}{2PM}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{PM}{PN}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题．