Question

11．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．

（1）①依题意补全图2；
②求证：AD=BE，且AD⊥BE；
③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；
（2）如图3，正方形ABCD边长为$\sqrt{5}$，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

Answer 1

分析 （1）①根据旋转的特性画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，从而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即证出AD⊥BE；③依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE去表示CM；
（2）根据题意画出图形，比照（1）③的结论以及利用全等三角形的性质，套入数据即可得出结论．

解答 解：（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．

②证明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ADC和△BEC中，有$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．
∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°-∠CDE=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，
∴AD⊥BE．
③依照题意画出图形，如图（二）所示．

∵△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=2CM．
又∵AD=BE，
∴AE-BE=2CM．
∵S_△ABC+S_△EBC=S_△CAE+S_△EAB，
即$\frac{1}{2}$AC•BC+$\frac{1}{2}$BE•CM=$\frac{1}{2}$AE（CM+BE），
∴AC²-AE•BE=CM（AE-BE），
∴CM=$\sqrt{\frac{A{C}^{2}-AE•BE}{2}}$．
（2）依照题意画出图形（三）．

其中AB=$\sqrt{5}$，DP=1，BD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{10}$，
由勾股定理得：BP=$\sqrt{B{D}^{2}-D{P}^{2}}$=3．
结合（1）③的结论可知：
AM₁=$\sqrt{\frac{A{B}^{2}-BP•DP}{2}}$=$\sqrt{\frac{5-3×1}{2}}$=1；
∵∠ABM₁+∠CBM₁=90°，∠ABM₁+∠BAM₁=90°，
∴∠CBM₁=∠BAM₁．
∵∠ABM₂=∠CBM₁，
∴∠ABM₂=∠CBM₁．
在△ABM₁和△BAM₂中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AB{M}_{2}=∠CB{M}_{1}}\\{∠A{M}_{1}B=∠B{M}_{2}A=90°}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABM₁≌△BAM₂（AAS），
∴AM₂=BM₁=$\sqrt{A{B}^{2}-A{{M}_{1}}^{2}}$=2．
故点A到BP的距离为1或2．

点评 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以及勾股定理，解题的关键：（1）①结合题意画出图形；②找出△ADC≌△BEC；③利用分割法求组合图形的面积；（2）利用类比法借助（1）③的算式求出结论．本题属于中档题，（1）①②难度不大；③难度不小，此处用到了分割组合图形求面积来找等式，该小问处切记线段AC当成已知量；（2）利用类比的方法套入（1）③的算式即可．解决该题型题目时，画出图形，注意数形结合是关键．