Question

14．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题--如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B 的值最小．

解答问题：
（1）如图2，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为4．
（2）如图3：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为$\sqrt{3}$．
（3）如图4，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的坐标是什么？

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质判断出PC+PE的最小值的位置，然后经过简单的计算，即可；
（2）利用菱形的性质判断出PB+PE的最小值的位置，然后经过简单的计算，即可；
（3）利用点到直线的距离中，垂线段最短，然后进行简单的计算即可．

解答 解：（1）如图1，

根据正方形的性质可知，
点C关于BD的对称点为点A，
∴PC+PE的和最小值为AE，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=4，
∴PC+PE的和最小值为4；
故答案为4；
（2）如图2

根据菱形的性质可知，
点B关于AC的对称点为点D，
∴DE为PB+PE的最小值，
∵∠B=120°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵E是AB的中点，所以DE⊥AB，
∵AB=2，∴AE=$\sqrt{3}$，
∴PB+PE的最小值是$\sqrt{3}$；
故答案为$\sqrt{3}$
（3）使点P能在最短的时间内到达点B处，
∴当PB⊥AB时，符合题意，
∵∠DAB=60°，
∴∠BAC=30°，又AB=6，
∴BM=2$\sqrt{3}$，
∵∠OBM=30°，BM=2$\sqrt{3}$，
∴OM=$\sqrt{3}$，
∴点M的坐标为（$\sqrt{3}$，0）．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查轴对称和最短路线问题，涉及到菱形，正方形的性质，等边三角形的性质，解本题的关键是确定出最短路线的位置．