Question

4．一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中D、E、F分别在BC、AB、AC上．
（1）若设AE=x，则AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x；（用含x的代数式表示）
（2）要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？

Answer 1

分析 （1）在直角三角形中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出EF，再利用勾股定理表示出AF即可；
（2）利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出BC，进而利用勾股定理表示出AC，由AC-AF表示出CF，根据CF与EF乘积列出S与x的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时x的值即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AE=x，
∴EF=$\frac{1}{2}$x，
根据勾股定理得：AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$x；
（2）∵四边形CDEF是矩形，
∴∠AFE=90°，
∵∠A=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$x，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=6，
根据勾股定理得：AC=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴CF=AC-AF=6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_矩形CDEF=CF•EF=$\frac{1}{2}$x（6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-6）2+9$\sqrt{3}$，
∴当x=6时，矩形CDEF的面积最大，
即当点E为AB的中点时，矩形CDEF的面积最大．

点评 此题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及矩形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．