Question

15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，P是对角线BD上的一个动点，连接OP，若⊙O的半径为1，∠A：∠C=1；2，则OP+$\frac{1}{2}$BP的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 作辅助线，先根据圆内接四边形的对角互补求出∠A=60°，∠BCD=120°，从而得出∠BOD=120°，根据同圆的半径相等和等边对等角求出∠OBD=∠ODB=30°，利用垂线段最短可得：OP+$\frac{1}{2}$BP的最小值即为
当CF⊥OB时，CF的长，也就是等边三角形OBC一边上的高的长．

解答 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠A：∠BCD=1；2，
∴∠A=60°，∠BCD=120°，
连接OB、OD，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
由于C的位置不确定，可取特殊位置，取$\widehat{BD}$的中点，
∴∠BOC=∠COD=60°
∵OB=OC
∴△OBC是等边三角形，
过P作PF⊥OB于F，连接OP、PC、OC，则OP=PC，
∴OP+$\frac{1}{2}$BP=OP+PF=PF+PC，
即当CF⊥OB时取最小值，
∵△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=1，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则OP+$\frac{1}{2}$BP的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质、垂径定理、等边三角形的判定、30°角的直角三角形的性质以及垂线段最短，有难度，找到最短距离的点P的位置是本题的关键，同时能利用圆周角和圆心角的关系求三角形各角的度数．