Question

9．已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC边的中点，点P为AB边上一动点，联结PE，过E作EQ⊥PE交边CD于Q，直线PQ交直线AD于点G．
（1）如图，当BP=1.5时，求CQ的长；
（2）如图，当点G在射线AD上时，设BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于EQ⊥PE，所以易证△PEB∽△EQC，所以$\frac{PB}{EC}=\frac{BE}{CQ}$，进而求出CQ长度．
（2）过点P作PF⊥CD于点F，易证△QDG∽△QPF，利用相似三角形的性质即可求出y与x的关系式．

解答 解：（1）∵点E为BC边的中点，
∴BE=CE=2，
∵EQ⊥PE，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEB+∠QEC=∠EQC+∠QEC=90°，
∴∠PEB=∠EQC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△PEB∽△EQC，
∴$\frac{PB}{EC}=\frac{BE}{CQ}$
∴CQ=$\frac{8}{3}$，
（2）由（1）可知：△PEB∽△EQC，
∴$\frac{PB}{EC}=\frac{BE}{CQ}$
∴CQ=$\frac{4}{x}$，
当CQ=4时，
此时x=1，
∴1≤x≤4，
过点P作PF⊥CD于点F，
∴△QPF∽△QGD，
∴$\frac{PF}{DG}=\frac{QF}{DQ}$
∵CF=PB=x，
∴QF=CQ-CF=$\frac{4}{x}-x$，
DQ=CD-CQ=4-$\frac{4}{x}$
∴$\frac{4}{y}=\frac{\frac{4}{x}-x}{4-\frac{4}{x}}$，
化简可得：y=$\frac{4（4x-4）}{4-{x}^{2}}$（1≤x≤4）

点评 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是证明△PEB∽△EQC，利用相似三角形的性质求出CQ的长度，本题属于中等题型．