Question

12．如图，四边形ABCD，CDMF，MFEG都是正方形，BD，AE相交于点H，求tan∠AHB．

Answer 1

分析 设正方形的边长为1，由勾股定理求得BD=$\sqrt{2}$，证△ADH∽△EBH得$\frac{DH}{BH}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{3}$，即可知BH=$\frac{3}{4}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，作AN⊥BD，有AN=BN=ABcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、NH=BH-BN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，最后由正切函数定义可得．

解答 解：设正方形的边长为1，
则BD=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵AD∥BE，
∴△ADH∽△EBH，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴BH=$\frac{3}{4}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
过点A作AN⊥BD于点N，

则AN=BN=ABcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴NH=BH-BN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴tan∠AHB=$\frac{AN}{NH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$=2．

点评 本题主要考查解直角三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的判定与性质及三角函数的定义得出求正切值所需线段的长．