Question

如图，在△ABO中，已知AB=AO，∠BAO=90°，BO=8cm，以点O为原点，BO所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
（1）求点A的坐标及直线AB的解析式；
（2）动点D从点O出发沿x轴的正半轴以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点O沿y轴正半轴以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE、DE，设运动时间为t秒，当t为何值时，△ADE是以AE为腰的等腰三角形？
（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在点F，使得△AEF和△ABD的面积相等？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，可得A点坐标，根据待定系数法，可得AB的函数解析式；
（2）根据运动速度乘以运动时间，可得E、D点坐标，革命剧AE=AD，AE=ED，可得关于t的方程，根据解方程，可得t值；
（3）根据点到直线的距离，可得E到AF的距离，根据三角形的面积相等，可得关于相等的多项式，根据相等的多项式一次项的系数相等，常数项相等，可得关于a的值，可得答案．

解答：解：（1）如图，作AD⊥OB与D点，

由AB=AO，∠BAO=90°，得△AOB是等腰直角三角形．
OD=BD=AD=4（cm）．即A（4，4）．
设直线AB的解析式是y=kx+b，图象过点A、B，得

8k+b=0 4k+b=4

．解得

k=-1 b=8

，
直线AB的解析式是y=-x+8；
（2）由动点D从点O出发沿x轴的正半轴以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点O沿y轴正半轴以每秒1cm的速度运动，
E（0，t），D（2t，0）．
当AE=AD时，AE²=AD²，即（t-4）²+4²=（2t-4）²+4²，解得t=

8

3

，t=0（不符合题意的要舍去），
当AE=ED时，AE²=ED²，即（t-4）²+4²=t²+（2t）²，解得t=-4（不符合题意的要舍去），t=2，
综上所述：t=2，t=

8

3

，△ADE是以AE为腰的等腰三角形；

（3）如图2：作EG⊥AF于G点，作AH⊥DB于点H，

设F点坐标（a，8-a），E（0，t），D（2t，0）．
DB=8-2t，AF=

(a-4)2+(8-a-4)2

=（a-4）

2

．
点到AF的长，EG=

|t-8|

2

．
由△AEF和△ABD的面积相等，得

1

2

AF•EG=

1

2

DB•AH，即

1

2

（a-4）

2

|t-8|

2

=

1

2

×4（8-2t）
当t＜4时，

1

2

（a-4）×8-

1

2

（a-4）t=16-4t，解得a=8即F₁（8，0）；
当4＜t＜8时.

1

2

（a-4）×8-

1

2

（a-4）t=4t-16，解得a=-4即F₂（-4，12）；
当t＞8时，-

1

2

（a-4）×8+

1

2

（a-4）t=4t-16，解得a=12，即F₃（12，-4）；
综上所述：F₁（8，0），F₂（-4，12），F₃（12，-4）时，△AEF和△ABD的面积相等．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了等腰直角三角形的性质，待定系数法求解析式，（2）利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键；（3）利用了三角形的面积公式，分了讨论是解题关键．